Евклидов ритм: когда музыка работает по законам математики

Евклидов ритм был обнаружен в 2004 году профессором информатики Годридом Туссеном. Тем не менее корни термина уходят в III век до нашей эры. Примерно тогда греческий математик Евклид в работе «Начала» описал революционный для своего времени алгоритм нахождения самого большого общего делителя двух целых чисел. Суть метода в том, чтобы из пары целых чисел получить новую пару, состоящую из меньшего числа и разницы между большим и меньшим числом. Процесс выведения чисел повторяется до тех пор пока числа не станут равны.

В 2004 году Туссен заметил, что алгоритм Евклида можно применить в музыке для генерации самых разнообразных ритмов. Более того, Туссен обнаружил, что созданные на основе алгоритма древнегреческого математика ритмы равномерны, а доли (удары) между собой равноудалены. В итоге Годфрид написал работу «The Euclidean Algorithm Generates Traditional Musical Rhythms», в которой пришёл к выводу, что в основе практически всей этнической музыки (африканской и европейской) лежит Евклидов алгоритм. Получающиеся на его основе ритмы с равноудалёнными и равномерными долями Туссен назвал евклидовыми.

Что такое Евклидов ритм

Для наглядности воспользуемся синтезатором Softube Parallels. Инструмент оснащён генератором секвенций, построенном на основе алгоритма Евклида. Разработчики добавили в генератор специальный визуализатор, показывающий созданные евклидовы ритмы. Так будет проще разобраться, о каких ритмах идёт речь, как они выглядят и звучат.

Для создания ритма понадобится некоторое количество долей-ударов в рамках такта или шага секвенсора. Возьмём рисунок из четырёх долей и 16 шагов — простейший ровный ритм на 4/4.

Если посмотреть на визуализатор Softube Parallels, то момент генерации звука совпадает с тем, когда бегающая по окружности точка пересекает неподвижные выколотые точки на границе окружности:

Ритм простой и не отличается революционностью из-за простоты вводных данных — соотношение между числом долей (4) и количеством шагов (16) составляет ровно 4. При таких настройках Евклидов алгоритм делает очевидное: генерирует звук один раз в четыре шага. То же самое мы получим, если возьмем четыре такта в размере 4/4 (в сумме 16 долей) и воспроизведём любой звук в начале каждого из них.

Всё станет интереснее, если количество шагов и долей не будут кратными. Для примера оставим 16 шагов и увеличим количество долей до шести. Так как число 16 нельзя разделить на равные группы из числа 6, алгоритм вынужден распределить доли более плотно и равномерно на окружности, чтобы не нарушить установленные для него границы. В итоге точки сгруппируются так, что некоторые из них окажутся ближе друг к другу, образовав подобие пар:

Получившийся ритм будет более живым, интересным и знакомым:

Звучать полиритм будет так:

Получившийся полиритм уже достаточно сложен, но никто не запрещает пойти дальше, добавив новый Евклидов ритм с другими значениями (большими или меньшими, чётными и нечётными). К примеру, если мы зададим соотношение 5 к 7, то получим вот такой полиритм:

Звучать всё станет значительно сложнее, но вместе с тем интереснее и необычнее:

Евклидовы ритмы повсюду

Евклидовы ритмы кажутся бездушными и слишком математическими, но в этом нет ничего плохого — многие ритмы сами по себе являются евклидовыми. Исследуя алгоритм древнегреческого учёного, Туссен пришёл к выводу, что большинство ритмов, встречающихся в самых разных культурах, на самом деле являются евклидовыми. В своей работе Годрид приводит следующие примеры:

• Бразильская босса-нова построена вокруг пяти долей-ударов в рамках 16 шагов.
• Кубинский ритм тресихо (англ. tresillo), являющийся упрощённой формой хабанеры, полагается на три доли-удара в восьми шагах.
• Турецкий аксак (тур. aqsaaq, букв. сломанный, хромой) построен на четырёх долях-ударах, равномерно распределённых на девять шагов.

В общем, музыка и математика давно связаны между собой, причём не на уровне теории, а на уровне чувств. Народы всего мира подсознательно подходили к созданию ритмов с научной точностью, так что такой математический подход далеко не современное изобретение. И это круто.